وبلاگ

اول، از عنوان نترسید، دانشمندان دوست دارند از کلمات فانتزی برای توصیف حتی یک موضوع ساده استفاده کنند و چرا که نه، فیزیک را بسیار جذاب تر می کند.

خوب، نوسانگر هارمونیک کوانتومی یکی از این موضوعات است. یک نام فانتزی با یک برنامه فانتزی.

هدف این مقاله ارائه یک پایه محکم در این موضوع است. من تمام تلاش خود را خواهم کرد تا به شما این مفهوم را بفهمم و به جای اینکه فقط برخی معادلات تصادفی و مشتقات آنها را مانند بسیاری از کتاب‌های درسی و سایت‌های آنلاین تفکیک کنید، خلاصه آن را به شما بگویم، پس از همه اینها شعار وب سایت ما این است.

پس بیایید شروع کنیم….

برای درک نوسانگر هارمونیک کوانتومی، ابتدا باید ایده ای در مورد آن داشته باشیم نوسان ساز هارمونیک کلاسیک و در معنی اصلی حرکت هارمونیک.

حرکت هارمونیک و نوسانگر هارمونیک کلاسیک

حرکت هارمونیک اشاره دارد حرکت دوره ای یا ارتعاش دوره ای. برای درک بهتر آن، فقط تصور کنید یک سیم گیتار در حال ارتعاش است، سپس این حرکات متقارن در مورد یک ناحیه از تعادل و فاصله هر شیب و تاج از خط وسط زمانی که نیروی پیوسته ای با قدر مساوی اعمال شود یکسان است.. این نوع حرکت ممکن است یک فرکانس یا دامنه داشته باشد یا ممکن است از دو یا چند نوع حرکت ساده تشکیل شده باشد.

نوسان ساز هارمونیک کلاسیک به سیستمی اطلاق می شود که اگر از حالت تعادل خارج شود، نیرویی به نام نیروی بازگردان را تجربه می کند.. این نیرو متناسب با جابجایی x است. کل سیستم را می توان به عنوان یک جسم به جرم m متصل به فنر در نظر گرفت و هنگامی که فنر ارتعاش می کند نموداری از آن تولید می کند. حتی سیمی و تاج دار.

اگر این نیرو تنها نیروی وارد بر سیستم باشد، سیستم S نامیده می شودنوسان ساز هارمونیک ساده و حرکتی که به ما نشان می دهد حرکت هارمونیک ساده (SFM) نامیده می شود و معادله نیرو در این حالت

F = –kx (–∞ ≤ x ≥ ∞ ) (1)

جایی که F و X بردار هستند و k (ثابت فنر) یک ثابت مثبت است

در اینجا در معادله بالا علامت منفی به آن اشاره دارد خلاف جهت حرکت در مقایسه با جهت نیروی اعمالی.

قبل از اینکه بحث خود را در مورد نوسانگر هارمونیک کوانتومی شروع کنیم، باید چند فرمول و مفهوم بیشتر بدانیم…

این دوره زمانی (دوره ای که پس از آن حرکت تکرار می شود) زیرا حرکت هارمونیک ساده است

T = 2π√(m/k) (2)

جایی که m جرم جسمی است که در معرض SHM قرار می گیرد و k ثابت فنر است

یک نکته را باید در نظر داشت که SHM یک حرکت میرایی نیست.
حرکت مردن نوعی حرکت است که پس از مدت زمان معینی از بین می رود. در واقع، بیشتر حرکات و ارتعاشات خاموش می شوند، مگر اینکه و تا زمانی که مقداری نیرو یا انرژی به آنها داده شود.. بحث بیشتر در مورد فرمول و مشتقات حرکت میرایی خارج از حوصله این مقاله است.

فرمول دیگر مربوط به نوسانگر هارمونیک کلاسیک حل معادله دیفرانسیل (1) است.

x
(3)

که در آن A دامنه موج است، ω فرکانس زاویه ای است و φ فاز است.

اینجا، ω = √(k/m) و بنابراین معادله (2) می تواند به صورت نوشته شود T= 2π/ ω

علاوه بر این، برای ورود به معادله شرودینگر و ما آن را به نوسانات هارمونیک وصل کرده ایم، باید عبارت پتانسیل را بدست آوریم، پس بیایید آن را بفهمیم،

V(x) = –‎F dx = ‎kx dx = kx²/2 + c (4)

جایی که c ثابت ادغام است

به استفاده از نگاتیو در حین ادغام توجه کنید. در اینجا برای نشان دادن جهت مخالف انرژی پتانسیل ذخیره شده در مقایسه با جهت نیروی اعمالی استفاده می شود.

معادله 4 پتانسیل نوسان ساز هارمونیک نیز نامیده می شود.

مقدار c معمولاً برای سادگی و همچنین به دلیل اینکه مقدار نهایی را به شدت تغییر نمی دهد در محاسبات بعدی حذف می شود..

نوسان ساز هارمونیک کوانتومی

ما در نهایت به بخش سرگرم کننده رسیدیم….

همانطور که می دانید، نوسان ساز کوانتومی هارمونیک (QHO) موضوع بسیار گسترده ای است در واقع این یکی از معدود موضوعات در QM است که راه حلی تحلیلی و دقیق برای آن می شناسیم. این موضوع این موضوع را به یکی از سیستم های کلیدی برای مطالعه QM تبدیل می کند.

QHO نسخه مکانیکی کوانتومی نوسانگر هارمونیک کلاسیک است، و بنابراین ترجیح دادم یک مقدمه کوتاه در مورد موضوع ارائه کنم.

پس بیایید از آن شروع کنیم تشکیل معادله شرودینگر،

بنابراین، با جایگزینی معادله 4 به معادله شرودینگر، به دست می آید:

– (²/2 متر)(د² 𝜓ₙ/dx²) + kx²/2 𝜓ₙ = هₙ 𝜓ₙ (5)

این معادله در مقالات آینده من در مورد این موضوع استفاده خواهد شد.

از آنجایی که قصد دارم این مقاله را به عنوان یک مقاله مقدماتی برای QHO بنویسم، بنابراین من وارد بیان این موضوع نمی‌شوم، بلکه می‌خواهم یک مرور مختصر از آن به شما ارائه دهم. در پست های بعدیمن به هر موضوع ضروری تحت QHO رسیدگی خواهم کرد.

حالا می خواهم شما را معرفی کنم کاربردهای نظریه نوسان ساز هارمونیک کوانتومی:

1) می تواند برای توصیف طیف ارتعاشی مولکول های دو اتمی و حالت های ارتعاشی پیچیده در مولکول های بزرگتر استفاده شود.

2) در تئوری ظرفیت حرارتی ارتعاشی استفاده می شود

3) می توان از آن برای درک حرکت اتم ها در یک شبکه جامد و توضیح اینکه کدام فونون ها از آنها ناشی می شوند استفاده کرد. در آرایش تناوبی و الاستیک اتم ها یا مولکول های ماده متراکم (جامدات و برخی مایعات خاص) اگر برانگیختگی جمعی رخ دهد، فونون نامیده می شود. با استفاده از QHO می‌توانیم ویژگی‌های مختلفی از این نظر پیدا کنیم، به عنوان مثال، می‌توانیم مقدار دقیق انرژی را پیدا کنیم که اگر به شبکه QHO تحویل داده شود، می‌توان آن را به سطح انرژی بعدی سوق داد.

4) همچنین یافتن عبارت انرژی ارتعاشی ترمودینامیکی ممکن است مفید باشد.

در مقالات بعدی خود، سعی خواهم کرد هر موضوع ضروری را که برای درک QHO لازم است، پوشش دهم. که در قسمت 2 بر سری QHOتوضیح خواهم داد Schrمعادله اودینگر با dغیر قابل اندازه گیری شرایط. بر اساس این مقاله سعی می کنم توضیح دهم محلول مجانبی QHO. پس از آپلود، لینک ها در اینجا ارائه می شوند.