وبلاگ

خوب… بدون هیچ مقدمه ای، اجازه دهید شروع کنیم…

هدف این مقاله یافتن یک راه حل کلی برای نوسانگر هارمونیک با یافتن جواب سری است.

از جانب معادله 7 از آخرین مقاله منما یک عبارت به دست آوردیم، و برای حل معادله شرودینگر برای این مسئله، می خواهیم به صراحت دانش را بسازیم. رفتار مجانبی نمایی از ψ که در مقاله قبلی مشخص شد.

بنابراین یک راه برای انجام آن وجود دارد، این است که فرض کنیم می توان آن را به صورت بیان کرد محصول دو تابع، یکی که رفتار مجانبی تابع موج را دارد و دیگری تابعی مجهول است، بیایید آن را به صورت H(ξ). آنچه گفتیم را می توانیم به صورت زیر بیان کنیم

ψ(ξ) = H(ξ) e^(–ξ²/2) (1)

این فقط یک فرضیه در مورد تصمیمی است که فقط توسط روش آزمون و خطا. باید ببینیم شرایط ما را دارد یا خیر.

از محاسبات ابتدایی می دانیم که هر تابع x (در اینجا، ξ) می توان با استفاده از یک چند جمله ای بی نهایت بیان کرد سریال تیلور یا مک لورینبنابراین

H(ξ) = الف₀
+ الف₁ ξ + الف₂ ξ² +… = ∑n آn ξ‌ [n ranges from 0 to ∞] (2)

اینجا، n از 0 متغیر است زیرا نمی توانیم توان منفی داشته باشیم ξ همانطور که به بی نهایت منجر می شود، که در این مورد منجر به غیرعادی شدن می شود.

اکنون باید معادله شرودینگر را برای یک نوسانگر هارمونیک حل کنیم که معادله 11 قسمت 2 این سری QHO است.

d^2 ψ / ه ξ^2 + ( λ – ξ^2) ψ = 0 (3)

افتراق معادله 1، می گیریم، می گیریم،

ه² ψ / ه ξ² = [ d²H/d ξ² – 2ξ dH/dξ + ( ξ² – 1)H ] e^(–ξ²/2) (4)

توجه داشته باشید که داریم
وابستگی ظاهری H به ξ برای وضوح بیشتر.

حال، با جایگزینی معادله 4 و معادله 1 به معادله 3، دریافت می کنیم:

ه²H/d ξ² – 2ξ dH/dξ +(λ – 1) H = 0 (5)

اکنون ما همه چیز را در دست داریم تا یک راه حل سریالی برای H(ξ). بنابراین، با تفکیک معادله 2، به دست می آید

dH/dξ = ∑n برn ξ. [n ranges from
0 to ∞] (6)

دوباره متمایز کردن

ه²H/d ξ² = ∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 [n ranges from 0 to ∞]
(7)

با جایگزینی معادله 2، 6 و 7 به معادله 5، دریافت می کنیم:

∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 +

∑n (λ –1–2n) الفn ξ‌ = 0 [n ranges
from 0 to ∞] (8)

پرداختن به معادله 8 دشوار خواهد بود، زیرا گسترش مبالغ می تواند سهمی در شکل ایجاد کند ξⁱ از دو جمله برای i ≥ 2 و در نتیجه همه عبارت ها قدرت یکسانی ندارند ξ با هم جمع شدند. این را می توان حل کرد. ببینیم چطور…

ابتدا ببینید که مجموع اول برابر با 0 خواهد بود اگر n=0 یا 1 باشد، بنابراین می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 = 0 + 0 + ∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 (9)

جایی که، آخرین جمله RHS با n از n=2 تا ∞ و در عبارت LHS n از n=0 تا ∞ متغیر است.

آنچه در معادله 9 می بینیم این است که در اینجا، n یک شاخص ساختگی استبه این معنی که از آنجایی که مجموع تمام مقادیر انتگرال ممکن را که بیشتر از 0 تا ∞ هستند را پوشش می دهد، ظاهراً مهم نیست که واقعاً چه برچسبی به شاخص جمع اختصاص داده شده است. به طور خلاصه، ما می‌توانیم شاخص را تغییر دهیم یا آنطور که می‌خواهیم به راحتی معادله را حل کنیم. بنابراین بیایید به i = n نگاه کنیم – 2 برای حل مشکل دو پاراگراف بالا را مورد بحث قرار دادیم. حال معادله 9 تبدیل به

∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 = ∑ᵢ (i+2) (i+1) ai+2 ξⁱ (10)

جایی که، در عبارت LHS، n از n=0 تا ∞ و در ترم RHS، i از i=0 تا ∞ است.

حال در معادله 10، هر دو n و i زیرنویس های ساختگی هستند، بنابراین می توانیم n=i را تعریف کنیم،

∑n n(n–1) الفn ξ⁻2 = ∑n (n+2) (n+1) an+2 ξ‌ (11)

اگر در رابطه با معادله 11 شک دارید، سپس معادله را در هر دو طرف گسترش دهید، متوجه خواهید شد که آنها کاملاً یکسان هستند.

بنابراین اکنون ما مشکل خود را حل کرده ایم که در چند پاراگراف بالا بحث کردم و بنابراین اکنون از معادله 8 و 11،

∑n {(n+2) (n+1) an+2 + (λ –1–2n) الفn} ξ‌ = 0 [n ranges from 0 to ∞]
(12)

از معادله 12 می بینیم که عبارات داخل پرانتز اعداد خالص هستند و هیچ وابستگی به
ξ. همچنین کل مجموع به 0 منتهی می شود و از دانش ما می دانیم که به طور کلی، ξ برابر با 0 نیست، اما هنوز مجموع آن 0 است. تنها راه این می تواند اتفاق بیفتد اگر هر اصطلاح در بریس های فرفری ناپدید شودبنابراین می توان به این امر دست یافت،

آn+2 = {(2n+1– λ)/(n+2) (n+1)} آn+2 (13)

اکنون، با توجه به دانش ما از نظریه راه حل سریال، ما این را می دانیم معادله 13 یک رابطه بازگشتی نامیده می شود همانطور که یک داده را مشخص می کند ضریب گسترش به صورت بازگشتی با توجه به ضریب قبلی در سری. پس باید پیدا کنیم آ₀ و الف₁ فقط عبارت‌ها و سپس می‌توانیم احکام زوج و فرد را بر اساس آن پیدا کنیم آ₀ و الف₁ به ترتیب.

قبل از اینکه به ادامه مطلب برویم، می خواهم این را به شما یادآوری کنم ما یک شرط مرزی داریم که تابع موج باید محدود باشد ξ به ±∞ تمایل دارد. بنابراین در معادله 1 می دانیم که e^(–ξ²/2) همانطور که در مقاله قسمت 3 خود در مورد راه حل مجانبی از آن استخراج کردیم، همگرا است. بنابراین، الفتا زمانی که H(ξ) همگرا است یا در بدترین حالت اگر بیش از exp(+ξ²/2، سپس راه حل کلی همگرا باقی می ماند.

اما، متأسفانه، اگر به گسترش سری کلی نگاه کنید، متوجه می شوید که به صورت مجانبی به عنوان exp(2ξ²). گسترش سریال عمومی exp(ηξⁱ)

تجربه (ηξⁱ) = 1 + ηξⁱ + η²ξ²ⁱ/2! + η³ξ³ⁱ/3! +…
(14)

حال از معادلات 2 و 13،

Term(n+1) / Term(n) = (an+2 / آn) ξ² = {(2n+1– λ)/(n+2) (n+1)} (15)

و نسبت جمله های متوالی در تابع نمایی معادله 14،

Term(n+1) / Term(n) = ηξⁱ/(η+1) (16)

معادلات 15 و 16 در n تمایل دارند ∞،

Term(n+1) / Term(n) ~ 2 ξ²/n (17)

و،

Term(n+1) / Term(n) ~ ηξⁱ/n (18)

با مقایسه معادلات 17 و 18 به دست می آوریم η=2 و i=2. بنابراین، نتیجه می گیریم که حل نوسان ساز هارمونیک به صورت نمایی از شکل رفتار می کند. تجربه (ηξⁱ) = انقضا(2ξ²). این بدان معنی است که ما می توانیم تابع موج را به صورت زیر نمایش دهیم:

ψ(ξ) = H(ξ) e^(–ξ²/2) ~ e^(2ξ²) e^(–ξ²/2) ~ e^(3ξ²/2)
(19)

معادله 19 واضح است
چند جهتی و غیر عادی. تنها راه حل این مشکل و جلوگیری از این فاجعه جلوگیری از سریال برای H(ξ) از رفتن به تعداد نامتناهی عضو. بنابراین، خاتمه سری H(ξ) بعد از تعداد متناهی عبارت.

پس اگر بالاترین قدرت از ξ ظاهر شدن در H(ξ) n است و اگر همه aᵢ = 0 برای i>n، سپس از رابطه بازگشتی (معادله 13)،

λ = 2n+1

بنابراین، از معادله بالا و معادله 2 و 10 مقاله قسمت 2 i.e. معادله شرودینگر با عبارت های بی بعد، می توانیم انرژی مربوط به عدد کوانتومی n را پیدا کنیم:

λ = 2n+1 = 2E / ħω

یا،

E = (n+1/2) ħω = (n+1/2) ħ(√k/m)، n=1،2،3،4،… (20)

از معادله 20، می بینیم که E متناسب با n است، که نشان می دهد سطوح انرژی پتانسیل هارمونیک به یک اندازه فاصله دارند. این سطوح انرژی با فواصل مساوی به نام شناخته می شوند سطوح ارتعاشی از آنجایی که پتانسیل هارمونیک از نیروهای جاذبه بین مولکول ها تقلید می کند.

همچنین، اگر طیفی را مشاهده کنید، متوجه می‌شوید که طیف‌های مولکولی خطوطی را بین انتقال‌های ارتعاشی با فواصل مساوی نشان می‌دهند. اینها نامیده می شوند سطوح چرخشی. روزی یک مقاله کوتاه در مورد این موضوع خواهم نوشت.

پس همین است، اگر تا انتها زنده مانده اید، به شما تبریک می گویم، زیرا افراد زیادی نمی توانند این کار را انجام دهند. در مقاله بعدی من که خواهد بود قسمت 5 این مجموعه، در ادامه خواهم نوشت چند جمله ای های هرمیت و توابع موج نوسان ساز هارمونیک کوانتومی. بنابراین، منتظر آن باشید. پس از آپلود، لینک در اینجا در دسترس خواهد بود.

ممنون که خواندید!!!